Zadanie nr 3798178
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki , i tego trójkąta w punktach – odpowiednio – , oraz . Punkt jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach oraz można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
W czworokącie wpisanym w okrąg suma miar przeciwległych kątów jest równa , więc
Patrzymy teraz na trójkąt .
Analogicznie, ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, mamy
Stąd
Udowodniliśmy, że , co oczywiście oznacza, że trójkąt jest równoboczny.