Zadanie nr 3942779
Trójkąty i
wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.
Rozwiązanie
Żeby móc w miarę wygodnie zapisać rozwiązanie, przyjmijmy, że małe litery oznaczają długości boków leżących naprzeciw kątów
w odpowiednich trójkątach.
Z twierdzenia sinusów
![2R = ---a--- = ---b--- = ---c---= sin∡A sin ∡B sin ∡C ---d--- --e---- --f---- = sin∡D = sin ∡E = sin ∡F](https://img.zadania.info/zad/3942779/HzadR3x.gif)
Mamy stąd
![a+ b+ c = 2R (sin ∡A + sin ∡B + sin ∡C ) d+ e+ f = 2R (sin ∡D + sin ∡E + sin ∡F )](https://img.zadania.info/zad/3942779/HzadR4x.gif)
co łatwo prowadzi do żądanej równoważności.