/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne

Zadanie nr 4721167

W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że jeżeli S jest punktem wspólnym okręgów oA i oB , to wystarczy udowodnić, że okrąg oC przechodzący przez punkty C , D , E przechodzi też przez S . Wystarczy zatem udowodnić, że na czworokącie CESD można opisać okrąg, czyli, że ∘ ∡DSE + γ = 180 .

Aby to zrobić zauważmy, że na każdym z czworokątów BDSF i AF SE można opisać okrąg, więc

∘ ∡DSF = 1 80 − β ∡F SE = 180∘ − α .

Zatem

∡DSE = 360∘ − ∡DSF − ∡F SE = α+ β = 180 ∘ − γ .
Wersja PDF