Zadanie nr 5708633
Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta spełniają równość
![1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c](https://img.zadania.info/zad/5708633/HzadT1x.gif)
to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy .
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt.
Przekształcamy daną równość.
![---3-----= --1---+ --1-- = b-+-c-+-a-+-b-= -----a+--2b+--c---- a+ b + c a + b b + c (a+ b)(b+ c) (ab + b2 + ac + bc) 3(ab + b 2 + ac + bc) = (a + b + c)(a + 2b + c) 3ab + 3b 2 + 3ac + 3bc = a2 + 2ab + ac+ ab+ 2b2 + bc+ ac+ 2bc+ c2 2 2 2 b = a + c − ac](https://img.zadania.info/zad/5708633/HzadR1x.gif)
Wyrażenie, które otrzymaliśmy bardzo przypomina twierdzenie cosinusów:
![b2 = a2 + c2 − 2acco sβ.](https://img.zadania.info/zad/5708633/HzadR2x.gif)
Jeżeli porównamy prawe strony tych równości, to otrzymamy , czyli
. Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia sinusów
![b b b 2b 2R = -----= ------∘ = -√- = √--- sin β sin6 0 23- 3 √ -- R = √b--= b--3. 3 3](https://img.zadania.info/zad/5708633/HzadR5x.gif)