Zadanie nr 5850251
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki
i
tego trójkąta w punktach – odpowiednio –
i
. Punkt
jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta
spełniają warunki:
oraz
![|BC |2 + 3|AC | = 3|AC |2 + 1.](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadT8x.gif)
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Musimy oczywiście wykazać, że na czworokącie można opisać okrąg. Aby to udowodnić, musimy wykazać, że
. Jeżeli przyjmiemy oznaczenia kątów trójkąta jak na rysunku, to
![∘ β- γ- ∘ β-+--γ ∡LP K = ∡BP C = 180 − 2 − 2 = 180 − 2 = 180∘ − α α = 180∘ − ---------= 90∘ + --. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadR3x.gif)
Musimy zatem udowodnić, że
![∘ ∘ α- 18 0 = ∡LAK + ∡LP K = α+ 90 + 2 3 2 --α = 90∘ ⇐ ⇒ α = --⋅90 ∘ = 60∘. 2 3](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadR4x.gif)
Wiemy więc co mamy zrobić – zadanie sprowadza się do udowodnienia, że .
Spróbujmy teraz rozszyfrować podany warunek dotyczący długości boków trójkąta . Żeby uprościć przekształcenia, oznaczmy
,
i
. Wiemy zatem, że
, czyli
oraz
![a2 + 3b = 3b 2 + 1 ⇒ a2 = 3b2 − 3b + 1.](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadR12x.gif)
To oznacza, że faktycznie mamy obliczone długości boków trójkąta w zależności od jednego parametru
. Ponieważ interesuje nas miara kąta
, piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie
.
![a2 = b2 + c2 − 2bcco sα.](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadR17x.gif)
Podstawiamy teraz w tej równości i
.
![2 2 2 3b − 3b + 1 = b + (1− b) − 2b (1− b)cos α 2b(1 − b) cosα = b2 + 1− 2b+ b2 − 3b 2 + 3b− 1 2b(1 − b) cosα = −b 2 + b = b(1 − b) / : 2b(1− b) 1 cosα = -- ⇐ ⇒ α = 60∘. 2](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadR20x.gif)
Po drodze podzieliliśmy równanie przez – mogliśmy to zrobić, bo z warunku
wynika, że
.
Wykazaliśmy więc, że co w połączeniu z analizą przeprowadzoną na początku rozwiązania dowodzi, że na czworokącie
można opisać okrąg.