Zadanie nr 5888753
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
w ten sposób, że
i
. Okrąg opisany na trójkącie
przecina bok
tego trójkąta w punkcie
takim, że
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że .
Rozwiązanie
Połączmy punkty i
oraz oznaczmy
,
i
.
Z założenia trójkąty i
są równoramienne, więc
![( ) ∡NKL = 180∘ − ∡BKL = 180∘ − 90∘ − β- = 9 0∘ + β- 2 2 ∘ γ- ∡CML = 90 − 2 .](https://img.zadania.info/zad/5888753/HzadR8x.gif)
Zauważmy teraz, ze czworokąt jest wpisany w okrąg, więc
![( ) ∘ ∘ ∘ β- ∘ β- ∡NML = 180 − ∡NKL = 180 − 90 + 2 = 90 − 2.](https://img.zadania.info/zad/5888753/HzadR10x.gif)
Mamy teraz wszystko, żeby obliczyć kąty trójkąta .
![( ) ∘ ∘ ∘ β- ( ∘ γ-) ∡AMN = 180 − ∡NML − ∡CML = 180 − 90 − 2 − 90 − 2 = ∘ = β-+--γ = 180--−-α-= 90∘ − α- 2 2 2 ∘ ∘ ( ∘ α-) ∘ α- ∡ANM = 180 − ∡NAM − ∡AMN = 180 − α − 90 − 2 = 90 − 2.](https://img.zadania.info/zad/5888753/HzadR12x.gif)
To oznacza, że trójkąt jest równoramienny, czyli rzeczywiście
.