Zadanie nr 7187004
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
. Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach
,
i
przecinają się w jednym punkcie.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli jest punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach
i
, to wystarczy udowodnić, że na czworokącie
można opisać okrąg. Niech
i
. Czworokąt
jest wpisany w okrąg, więc
![∘ ∘ ∡DP F = 180 − ∡DAF = 180 − α.](https://img.zadania.info/zad/7187004/HzadR8x.gif)
Analogicznie, w czworokącie ,
![∘ ∘ ∡DP E = 180 − ∡DBE = 180 − β.](https://img.zadania.info/zad/7187004/HzadR10x.gif)
W takim razie
![∘ ∘ ∘ ∘ ∡F PE = 360 − ∡DP F − ∡DP E = 360 − (180 − α) − (180 − β) = α + β .](https://img.zadania.info/zad/7187004/HzadR11x.gif)
Stąd
![∡F P E + ∡F CE = α+ β+ 180∘ − (α + β) = 180∘,](https://img.zadania.info/zad/7187004/HzadR12x.gif)
czyli na czworokącie można okrąg. To oznacza, że punkt
leży na okręgu opisanym na trójkącie
.