Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8236307

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .


PIC


Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Połączmy punkt G z punktami D ,E,F oraz oznaczmy miary kątów trójkąta tak jak na rysunku.


PIC


Musimy udowodnić, że na czworokącie AF GE można opisać okrąg. Aby to zrobić wystarczy wykazać, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta jest równa 1 80∘ .

Czworokąty BDGF i CEGD są wpisane w okrąg, więc

∡F GD = 18 0∘ − β ∘ ∡DGE = 18 0 − γ.

Mamy stąd

∡F GE = 360 ∘ − ∡F GD − ∡DGE = β + γ .

Zatem

∡FAE + ∡F GE = α + β + γ = 180 ∘,

czyli rzeczywiście punkty A ,F,G ,E leżą na jednym okręgu.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!