Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9574876

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jednym z najtrudniejszych elementów tego zadania to wykonanie prawidłowego rysunku – najlepiej jest najpierw narysować okręgi styczne, a potem dorysować do niech trójkąt ABC .


PIC


Musimy udowodnić, że na czworokącie CEF D można opisać okrąg.

Sposób I

Wystarczy wykazać, że

 ∘ ∡CEF + ∡CDF = 180 ,

a ten warunek jest równoważny warunkowi

 ∘ ∡AEF + ∡BDF = 180 .

Oznaczmy ∡AEF = α i ∡BDF = β . Patrzymy najpierw na trójkąt równoramienny F LB . Mamy w nim

∡F LB = 2β 1 ∘ ∘ ∡BF L = -(180 − ∡F LB) = 90 − β. 2

Podobnie obliczamy kąty trójkąta równoramiennego AKF . Kąt wklęsły przy wierzchołku K tego trójkąta jest równy 2α (bo jest oparty na tym samym łuku, co kąt AEF ), więc kąt wypukły przy wierzchołku K jest równy ∡AKF = 360∘ − 2α . Mamy stąd

∡KFA = 1(180∘ − ∡AKF ) = α − 90∘. 2

Teraz wystarczy zauważyć, że ∡KFA = ∡BF L , więc

90∘ − β = α− 90∘

Zatem rzeczywiście α+ β = 180 ∘ .

Sposób II

Tym razem oznaczmy ∡A = α i ∡B = β oraz dorysujmy wspólną styczną do danych okręgów. Niech jeszcze P będzie jakimkolwiek punktem tej stycznej, który leży wewnątrz czworokąta CEF D . Na mocy twierdzenia o stycznej mamy

 ∡EF P = ∡EAF = α ∡DF P = ∡DBF = β.

Stąd

 ∘ ∘ ∡ECD + ∡EF D = 180 − (α + β )+ α + β = 180 .

To oznacza, że rzeczywiście na czworokącie CEF D można opisać okrąg.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!