/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Promienie okręgów

Zadanie nr 1517931

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC dane są AB = 1 0 , ∘ ∡A = 30 i ∘ ∡B = 4 5 . Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. niech a,b i c będą długościami boków naprzeciw wierzchołków A ,B i C odpowiednio.

PIC

Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180∘ , więc ∡C = 10 5∘ . Będziemy korzystać z twierdzenia sinusów, więc od razu wyliczmy sinusy tych kątów

√ -- ∘ 2 sin 45 = ---- 2 sin 30∘ = 1- 2 sin1 05∘ = sin(60∘ + 45∘) = sin 60∘ cos45 ∘ + sin 45∘co s60∘ = √ -- √ -- √ -- √ --( ) = --3-⋅ --2+ --2-⋅ 1-= --2- √ 3-+ 1 . 2 2 2 2 4

Teraz możemy już zastosować twierdzenie sinusów

----c--- --b---- ---a--- 2R = sin 105∘ = sin 45∘ = sin30 ∘,

gdzie R -promień okęgu opisanego na trójkącie. Uwzględniając wcześniejsze wyliczenia, oraz fakt, że c = 1 0 otrzymujemy:

c 1 0 40 sin-105∘ = √2-√--------= √---√--------= -4 ( 3 + 1 ) 2( 3 + 1) 40√ 2- 4 0√ 2(√ 3-− 1) √ --√ -- = --√--------= --------------- = 1 0 2( 3 − 1) 2( 3+ 1) 2⋅ 2

To pozwala łatwo wyliczyć szukane wielkości:

√ --√ -- R = 5 2 ( 3− 1 ) √ -- √ --√ -- --2- √ -- b = 10 2( 3− 1)⋅ 2 = 10( 3 − 1 ) √ --√ -- 1 √ --√ -- a = 10 2( 3− 1)⋅ --= 5 2( 3 − 1 ) 2

 
Odpowiedź: Boki: √ --√ -- √ -- 5 2( 3 − 1),10( 3 − 1 ) , promień: √ --√ -- 5 2( 3 − 1) .

Wersja PDF