/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Promienie okręgów

Zadanie nr 2013143

Dany jest trójkąt ABC , w którym sin-∡A- 17 sin∡B = 25 . Na boku AB leży punkt D taki, że |AD | = 1 2 , |DB | = 16 oraz |CD | = 17 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy najpierw, że korzystając z twierdzenia sinusów możemy podany stosunek sinusów zamienić na stosunek długości boków AC i BC . Dokładniej,

---a--- --b---- a- sin-∡A- 17- sin∡A = sin ∡B ⇒ b = sin ∡B = 25 .

Żeby nie mieć ułamków, oznaczmy a = 17x i b = 25x .

Oznaczmy ∡BDC = α . Wtedy oczywiście ∡ADC = 180∘ − α . Piszemy teraz twierdzenia cosinusów w trójkątach BDC i ADC .

{ 2 2 2 BC = DB + DC − 2DB ⋅DC co sα AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC co s(180∘ − α) { 289x2 = 2 56+ 289 − 2 ⋅16⋅ 17co sα / ⋅3 625x2 = 1 44+ 289 + 2 ⋅12⋅ 17co sα / ⋅4 . { 867x2 = 1 635 − 2⋅ 48⋅ 17cos α 2 2500x = 1732 + 2 ⋅48⋅ 17co sα.

Dodajemy teraz równania układu stronami (żeby skrócić co sα ).

3367x2 = 3367 ⇒ x = 1.

Zatem AC = b = 25 i BC = a = 17 .

Promień okręgu opisanego obliczymy na kilka sposobów.

Sposób I

Ponieważ trójkąt DBC okazał się być równoramienny, łatwo jest obliczyć jego wysokość CE .

PIC

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ --------- √ --------- √ ---- h = CE = 172 − 82 = 289− 64 = 22 5 = 15.

W takim razie

sin ∡B = h--= 15- 17 17

i na mocy twierdzenia sinusów mamy

AC 25 17 ⋅25 85 85 2R = -------= 15-= -------= --- ⇒ R = ---. sin ∡B 17 15 3 6

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie obliczamy wysokość trójkąta ABC , h = 15 . W takim razie pole trójkąta ABC jest równe

1 P = --⋅AB ⋅h = 14 ⋅15. 2

Korzystamy teraz ze wzoru P = abc 4R na pole trójkąta. Mamy zatem

abc- 1-7⋅2-5⋅28- 17-⋅5-⋅2 8-5 4R = P = 1 4⋅15 = 3 ⇒ R = 6 .

Sposób III

Pole trójkąta ABC możemy obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p = a+b+c-= 17+-25+-28= 35 2 2 jest połową obwodu. Mamy zatem

√ ------------- √ ---------- P = 35⋅ 18⋅1 0⋅7 = 3⋅5 7⋅2 ⋅2 ⋅7 = 15 ⋅14.

Korzystamy teraz ze wzoru P = abc 4R na pole trójkąta. Mamy zatem

abc- 1-7⋅2-5⋅28- 17-⋅5-⋅2 8-5 4R = P = 1 4⋅15 = 3 ⇒ R = 6 .

Sposób IV

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cos ∡A .

2 2 2 17 = 25 + 28 − 2 ⋅25 ⋅28⋅ cos∡A 2⋅25 ⋅28 cos ∡A = 11 20 / : (2 ⋅25 ⋅28) cos ∡A = 11-2-= 4-. 5⋅28 5

W takim razie

∘ ------------- ∘ ------- sin ∡A = 1− cos2∡A = 1 − 1-6 = 3- 2 5 5

i na mocy twierdzenia sinusów mamy

2R = --BC--- = 17-= 17⋅5-= 85- ⇒ R = 85. sin∡A 35 3 3 6

 
Odpowiedź: 85 6

Wersja PDF