/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Promienie okręgów

Zadanie nr 4582816

W okrąg o średnicy 16,25 wpisano trójkąt ostrokątny ABC , w którym |BC | = 15 . Miary kątów BAC i ABC tego trójkąta spełniają warunek

sin|∡BAC---| 15- sin|∡ABC | = 13 .

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o średnicy

2R = 16,25 = 65, 4

więc na mocy twierdzenia sinusów mamy

----BC---- = 2R ⇒ sin∡BAC = BC--= 15-= 60-= 12. sin ∡BAC 2R 65 65 13 4

Korzystamy teraz z podanego stosunku sinusów

sin-∡BAC-- = 15- ⇒ sin∡ABC = 13-⋅sin ∡BAC = 13-⋅ 12-= 12-= 4. sin ∡ABC 13 15 15 13 15 5

Teraz ponownie korzystamy z twierdzenia sinusów.

AC 65 4 ---------- = 2R ⇒ AC = 2R ⋅sin∡ABC = --⋅ --= 1 3. sin ∡ABC 4 5

Fakt, że obliczyliśmy sin∡ABC możemy wykorzystać do obliczenia wysokości CD trójkąta ABC . Patrzymy na trójkąt prostokątny BCD .

CD-- 4- sin∡ABC = BC ⇒ CD = BC sin ∡ABC = 1 5⋅ 5 = 12.

Stąd

∘ ------------ √ ---------- √ --- BD = BC 2 − CD 2 = 225 − 144 = 81 = 9 ∘ ------------ √ ---------- √ --- AD = AC 2 − CD 2 = 16 9− 1 44 = 25 = 5 AB = AD + BD = 9 + 5 = 1 4.

Musimy obliczyć promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC – skorzystamy ze wzoru na pole

P = pr,

gdzie

15-+-1-3+-1-4 4-2 p = 2 = 2 = 21

jest połową obwodu trójkąta. Obliczmy jeszcze pole trójkąta

P = 1-AB ⋅ CD = 1-⋅1 4⋅12 = 84. 2 2

Mamy zatem

r = P-= 84-= 4. p 21

 
Odpowiedź: 4

Wersja PDF