/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Promienie okręgów

Zadanie nr 7816363

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach 40 i 29 jest równe 420. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt

PIC

Zauważmy, że podane pole powierzchni pozwala łatwo obliczyć sinus kąta γ pomiędzy bokami długości 40 i 29.

1⋅ 40⋅2 9⋅sin γ = P = 420 2 ABC 420 42 21 sin γ = ----= ---= --. 580 58 29

Wiemy, że trójkąt jest ostrokątny, więc

∘ -------- ∘ ---- ∘ ---------- 441 400 20 cos γ = 1− sin 2γ = 1 − ----= ----= --. 841 841 29

Korzystamy teraz z twierdzenia cosinusów i obliczamy długość boku AB .

2 2 2 c = AC + BC − 2AC ⋅BC cosγ 2 20- c = 16 00+ 841− 2⋅ 40⋅2 9⋅ 29 = 24 41− 1600 = 8 41 √ ---- c = 84 1 = 29.

Promień r okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole

P = pr,

gdzie

AB + BC + CA 98 p = -------2--------= 2--= 49

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

P- 420- 60- r = p = 49 = 7 .

 
Odpowiedź: 60 7

Wersja PDF