/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Obwód

Zadanie nr 5303304

Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC | = 16 , |AD | = 6 , |CD | = 1 4 i |BC | = |BD | . Oblicz obwód trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Piszemy twierdzenia cosinusów w trójkątach ADC i ABC .

{ CD 2 = AD 2 + AC 2 − 2AD ⋅AC c osα BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC co sα. { 196 = 36+ 256 − 192 cosα 2 2 x = (x + 6 ) + 25 6− 3 2(x+ 6)co sα.

Z pierwszego równania mamy

co sα = 96--= 1, 192 2

czyli ∘ α = 60 . Drugie równanie przyjmuje więc postać

2 2 x = x + 12x + 36 + 256 − 1 6(x+ 6) 4x = 196 ⇒ x = 49.

Obwód trójkąta ABC jest więc równy

AB + BC + CA = 6+ x + x + 16 = 2 2+ 2x = 22 + 98 = 120.

Sposób II

Piszemy twierdzenia cosinusów w trójkątach ABC i DBC .

{ 2 2 2 AC = AB + CB − 2AB ⋅CB co sβ DC 2 = DB 2 + CB 2 − 2DB ⋅CB cosβ { 25 6 = (6+ x)2 + x2 − 2x ⋅(6+ x)co sβ 2 2 2 19 6 = x + x − 2x cosβ .

Podstawiamy teraz 2x2− 196 98 co sβ = --2x2--= 1− x2 z drugiego równania do pierwszego

( ) 2 56 = 36 + 12x + x 2 + x2 − 2x⋅ (6+ x )⋅ 1 − 98- x 2 11 76 2 20 = 12x + 2x 2 − 12x − 2x2 + ----- + 196 x 117-6 1176- 2 4 = x ⇒ x = 24 = 49.

Obwód trójkąta ABC jest więc równy

AB + BC + CA = 6+ x + x + 16 = 2 2+ 2x = 22 + 98 = 120.

 
Odpowiedź: 120

Wersja PDF