/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Obwód

Zadanie nr 8490743

W trójkącie ABC bok BC ma długość 24 cm. Oblicz obwód tego trójkąta, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku B jest równa 4 5∘ , a miara kąta przy wierzchołku A jest równa 60∘ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że trzeci kąt trójkąta ma miarę ∘ ∘ ∘ ∘ 18 0 − 6 0 − 45 = 75 .

PIC

Sposób I

Będziemy chcieli skorzystać z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy ∘ sin 75 .

sin 75∘ = sin(3 0∘ + 45∘) = sin30 ∘cos 45∘ + sin 45∘ cos3 0∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 1- --2- --2- --3- --2-+---6- = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 4 .

Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów.

√-2 √ -- √ -- --AC--- = --BC--- ⇒ AC = 24 ⋅√2- = 2 4⋅√--2-= 8 6 sin4 5∘ sin 60∘ --3 3 √2- √ - √ -- √ -- AB BC --2+--6 2 + 6 √ -- √ -- ------∘ = ------∘ ⇒ AB = 24 ⋅--√4--- = 24 ⋅----√-----= 4( 6 + 3 2). sin7 5 sin 60 -23 2 3

Obwód trójkąta jest więc równy

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- AB + BC + CA = 4 6+ 12 2 + 24 + 8 6 = 24+ 12 2 + 12 6.

Sposób II

Tym razem obejdziemy się bez twierdzenia sinusów. Dorysujmy wysokość CD trójkąta. Trójkąt BDC jest prostokątny z kątem ostrym 4 5∘ , więc jest to połówka kwadratu. Mamy więc

√ -- 24 √ -- CD 2 = 24 ⇒ CD = √---= 12 2 √ -- 2 DB = CD = 12 2.

Patrzymy teraz na trójkąt ADC .

√ -- √ -- CD 12 2 24 2 √ -- ----= sin 60∘ ⇒ AC = --√--- = -√---- = 8 6 AC -32- 3 AD 1 √ -- ----= cos6 0∘ ⇒ AD = -AC = 4 6. AC 2

Obwód trójkąta jest więc równy

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- AD + DB + BC + CA = 4 6 + 12 2 + 24 + 8 6 = 24 + 12 2 + 12 6.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- 24 + 12 2+ 12 6 cm

Wersja PDF