Zadanie nr 1482488
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego , w którym
oraz
zbudowano kwadrat
.
Punkt leży na prostej
i kąt
. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Najważniejsze w tym zadaniu to zauważyć, że trójkąty prostokątne i
są podobne.
Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy to
oraz
![∡HAE = 180∘ − ∡EAC − ∡CAB = 1 80∘ − 90∘ − (90∘ − α) = α .](https://img.zadania.info/zad/1482488/HzadR5x.gif)
Łatwo też obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów. Z twierdzenia Pitagorasa mamy
![∘ ---2------2- √ --------- AB = AC + BC = 25 + 1 44 = 13.](https://img.zadania.info/zad/1482488/HzadR6x.gif)
Zatem skala podobieństw jest równa . Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, szukane pole trójkąta jest równe
![P = k2 ⋅P = -25- ⋅ 1AC ⋅BC = 2-5-⋅30 = 750. HAE ABC 1 69 2 169 169](https://img.zadania.info/zad/1482488/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: