Zadanie nr 2624282
Kąt trójkąta prostokątnego
ma miarę
. Odcinek
jest wysokością tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną
. Oblicz stosunek pól trójkątów
i
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy, że dany trójkąt to połówka trójkąta równobocznego o boku
. Jeżeli oznaczymy
, to
i ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy
![√ -- √ -- AB 3 a 3 AC = -------= ----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2624282/HzadR5x.gif)
Interesujące nas trójkąty prostokątne i
są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta
) i łatwo obliczyć skalę
ich podobieństwa:
![a√ 3 AC-- --2-- √ -- k = CB = a = 3 . 2](https://img.zadania.info/zad/2624282/HzadR10x.gif)
Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy
![PADC-- 2 P = k = 3. CDB](https://img.zadania.info/zad/2624282/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: 3