/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Pole

Zadanie nr 2624282

Kąt CAB trójkąta prostokątnego ABC ma miarę ∘ 30 . Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną AB . Oblicz stosunek pól trójkątów ADC i CDB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że dany trójkąt ABC to połówka trójkąta równobocznego o boku AB = 2BC . Jeżeli oznaczymy AB = a , to BC = a2 i ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy

√ -- √ -- AB 3 a 3 AC = -------= ----. 2 2

Interesujące nas trójkąty prostokątne ADC i CDB są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta ABC ) i łatwo obliczyć skalę k ich podobieństwa:

a√ 3 AC-- --2-- √ -- k = CB = a = 3 . 2

Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy

PADC-- 2 P = k = 3. CDB

 
Odpowiedź: 3

Wersja PDF