Zadanie nr 2692949
Z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego poprowadzono wysokość
, która podzieliła przeciwprostokątną
na odcinki o długościach 32 cm i 18 cm (zobacz rysunek).
Oblicz pole trójkąta .
Rozwiązanie
Oznaczmy: ,
i
.
Sposób I
Na danym rysunku są 3 trójkąty prostokątne: i
. Piszemy twierdzenie Pitagorasa w każdym z tych trójkątów.
![{ a2 − 3 24 = h2 = b2 − 102 4 2 2 2 a + b = 50 = 2500 .](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR6x.gif)
Z pierwszego równania mamy . Podstawiamy tę wartość do drugiego równania
![b2 − 700 + b2 = 2 500 2 2 2b = 3 200 ⇒ b = 1 600 ⇒ b = 4 0 cm .](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR8x.gif)
Stąd
![2 2 2 a = b − 700 = 16 00− 700 = 90 0 = 30 ⇒ a = 30 cm](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR9x.gif)
i pole trójkąta jest równe
![1 1 P = --ab = --⋅3 0⋅40 = 600 cm 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR11x.gif)
Sposób II
Trójkąty i
są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku
. Są więc podobne i mamy
![AD-- AC-- √ --------- √ ------- √ ----- AC = AB ⇒ AC = AD ⋅ AB = 32 ⋅50 = 1600 = 40 cm .](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR15x.gif)
Analogicznie, z podobieństwa trójkątów i
mamy
![BD BC √ --------- √ ------- √ ---- ----= ---- ⇒ BC = BD ⋅ BA = 18 ⋅50 = 900 = 30 cm . BC BA](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR18x.gif)
Pole trójkąta jest równe
![P = 1-ab = 1-⋅3 0⋅40 = 600 cm 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2692949/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: