Zadanie nr 4787693
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny o bokach długości
jest styczny do boków
i
w punktach
i
. Proste
i
przecinają się punkcie
. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Zacznijmy od wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt . Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy

Zatem .
Na narysowanym obrazku jest sporo trójkątów prostokątnych – w tym interesujący nas trójkąt . Kluczowe do rozwiązania zadania jest zauważenie, że niektóre z nich są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy
to

Stąd

To oznacza, że trójkąty i
są podobne. W obu z nich długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
jest równa 2, więc trójkąty te są przystające. Zatem
i interesujące nas pole jest równe

Odpowiedź: 4