Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB|=8,|BC|=6,|AC|=10... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Pole, 4787693

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Pole

Zadanie nr 4787693

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach długości $|AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ w punktach $D$ i $E$ . Proste $DE$ i $AB$ przecinają się punkcie $F$ . Oblicz pole trójkąta $EBF$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Zacznijmy od wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy

a-+-b-+-c ⋅r = S = 1-⋅ab 2 2 ab 8⋅ 6 48 r = --------- = -----------= ---= 2. a + b + c 8+ 6+ 10 24

Zatem $EC = BC − r = 4$ .

Na narysowanym obrazku jest sporo trójkątów prostokątnych – w tym interesujący nas trójkąt $EBF$ . Kluczowe do rozwiązania zadania jest zauważenie, że niektóre z nich są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy $∡BF E = α$ to

∡DEC = ∡BEF = 90∘ − α.

Stąd

∡SCE = 9 0∘ − ∡DEC = 9 0∘ − (9 0∘ − α) = α.

To oznacza, że trójkąty $EBF$ i $SEC$ są podobne. W obu z nich długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ jest równa 2, więc trójkąty te są przystające. Zatem $BF = EC = 4$ i interesujące nas pole jest równe