Zadanie nr 4787693
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny o bokach długości
jest styczny do boków
i
w punktach
i
. Proste
i
przecinają się punkcie
. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Zacznijmy od wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt . Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy
![a-+-b-+-c ⋅r = S = 1-⋅ab 2 2 ab 8⋅ 6 48 r = --------- = -----------= ---= 2. a + b + c 8+ 6+ 10 24](https://img.zadania.info/zad/4787693/HzadR2x.gif)
Zatem .
Na narysowanym obrazku jest sporo trójkątów prostokątnych – w tym interesujący nas trójkąt . Kluczowe do rozwiązania zadania jest zauważenie, że niektóre z nich są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy
to
![∡DEC = ∡BEF = 90∘ − α.](https://img.zadania.info/zad/4787693/HzadR6x.gif)
Stąd
![∡SCE = 9 0∘ − ∡DEC = 9 0∘ − (9 0∘ − α) = α.](https://img.zadania.info/zad/4787693/HzadR7x.gif)
To oznacza, że trójkąty i
są podobne. W obu z nich długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
jest równa 2, więc trójkąty te są przystające. Zatem
i interesujące nas pole jest równe
![1 SEBF = --⋅2 ⋅4 = 4. 2](https://img.zadania.info/zad/4787693/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: 4