/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Pole

Zadanie nr 7028820

W trójkącie prostokątnym ABC dane są ∘ |AC | = 12,|∡CAB | = 60 . Poprowadzono prostą równoległą do przeciwprostokątnej AB dzielącą bok AC w stosunku 5 : 1 , licząc od wierzchołka C . Prosta ta przecina bok AC w punkcie M , a bok BC w punkcie N . Oblicz pole trapezu ABNM .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Widać z rysunku, że pole trapezu ABNM jest równe różnicy pól trójkątów ABC i CNM . Wyznaczamy drugą przprostokątną za pomocą funkcji trygonometrycznych

∘ |BC--| tg 60 = |AC | √ -- |BC | = |AC |tg6 0∘ = 12 3.

Punkt M dzieli bok AC w stosunku 5 : 1 , czyli

|CM | = 5-⋅|AC | = 5-⋅12 = 10. 6 6

Teraz możemy obliczyć długość boku CN

tg60 ∘ = |CN--| |CM | ∘ √ -- |CN | = |CM |tg 60 = 1 0 3.

Teraz już łatwo obliczyć pole trapezu

√ -- √ -- P = P − P = 1⋅1 2⋅1 2 3− 1-⋅10 ⋅10 3 = ABNM AB√C-- CN√M-- 2 √ -- 2 = 7 2 3− 50 3 = 2 2 3.

Sposób II

Tak jak poprzednio obliczamy √ -- |BC | = 12 3 , skąd

1- √ -- √ -- PABC = 2 ⋅1 2⋅12 3 = 72 3.

Zauważmy teraz, że trójkąty ABC i MNC są podobne w skali 6:5, czyli

( ) 5 2 25 √ -- √ -- PMNC = -- ⋅ PABC = ---⋅72 3 = 50 3. 6 36

Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- PABNM = PABC − PMNC = 72 3 − 50 3 = 22 3.

 
Odpowiedź: √ -- 22 3

Wersja PDF