Zadanie nr 9868456
Kąt trójkąta prostokątnego
ma miarę
. Pole kwadratu
, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Oczywiście bok kwadratu to 2. Zauważmy teraz, że w każdym z trójkątów prostokątnych
,
,
jeden z kątów ostrych ma miarę
oraz jeden z boków ma długość 2. To pozwala dość łatwo obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta.
![ED-- ∘ 1- AD = sin 30 = 2 ⇒ AD = 4 GC 1 ---- = sin 30∘ = -- ⇒ GC = 1 GD 2√ -- CD-- ∘ --3- √ -- GD = co s30 = 2 ⇒ CD = 3 √ -- GF--= cos 30∘ = --3- ⇒ BG = -2√- = √4-. BG 2 -3- 3 2](https://img.zadania.info/zad/9868456/HzadR5x.gif)
W takim razie
![-- CA = CD + AD = √ 3 + 4 √4-- CB = GC + BG = 1 + 3](https://img.zadania.info/zad/9868456/HzadR6x.gif)
i pole trójkąta jest równe
![( ) 1- 1- √ -- -4-- P = 2CA ⋅CB = 2 ⋅( 3+ 4) 1 + √ -- = ( ) √3-- 1- √ -- 16-- 19--3- = 2 3 + 4 + 4 + √ 3- = 4+ 6 .](https://img.zadania.info/zad/9868456/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: