Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1994437

Z punktu A = (6 ,3 ) poprowadzono styczne do okręgu  2 2 x + y − 6y = 0 .

  • Wyznacz równania tych stycznych.
  • Oblicz odległość punktów styczności.
  • Oblicz pole figury zaznaczonej na rysunku.
    PIC

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od ustalenia o jaki okrąg chodzi (jaki ma środek i promień).

 2 2 x + y − 6y+ 9− 9 = 0 x2 + (y− 3)2 = 32.

Jest więc okrąg o środku S = (0,3) i promieniu 3. Teraz możemy dokładniej naszkicować opisaną sytuację.


PIC


  • Proste przechodzące przez punkt A = (6 ,3) są postaci y = a(x − 6) + 3 (z wyjątkiem pionowej prostej x = 6 , ale widać, że ta nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy taka prosta i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny (wstawiamy y = ax − 6a + 3 ) do równania okręgu.
    x 2 + (ax − 6a + 3− 3 )2 = 9 2 2 2 2 2 x + a x − 1 2a x+ 36a − 9 = 0 (1 + a2)x 2 − 12a 2x+ (36a2 − 9) = 0.

    Współczynnik przy x2 jest niezerowy, więc mamy równanie kwadratowe. Wystarczy zatem sprawdzić, kiedy Δ = 0 .

    0 = Δ = 144a4 − 4(1 + a2)(36a 2 − 9) / : 4 ⋅9 0 = 4a4 − (1 + a2)(4a2 − 1) = 4a 4 − (4a 4 + 3a 2 − 1) √ -- 3a2 = 1 ⇒ a = ± √1--= ± --3. 3 3

    Wyznaczmy od razu punkty wspólne B i C tych stycznych i okręgu (przyda nam się to w następnym podpunkcie).

     2 2 2 2 ((1+ a ))x − 12a x + (36a − 9) = 0 1- 2 1+ 3 x − 4x + 3 = 0 / ⋅3 2 4x − 12x + 9 = 0 3 (2x− 3)2 = 0 ⇐ ⇒ x = -. 2

    Zatem

     √ --( ) √ -- 3 3 3 3 y = a(x− 6)+ 3 = ± -3-- 2-− 6 + 3 = ± --2--+ 3

    i punkty wspólne mają współrzędne

     ( ) ( ) 3 3√ 3- 3 3 √ 3- B = --,-----+ 3 , C = -,− -----+ 3 . 2 2 2 2

     
    Odpowiedź:  √- √ - y = − -3(x − 6) + 3, y = --3(x − 6) + 3 3 3

  • W poprzednim podpunkcie obliczyliśmy współrzędne punktów styczności. Ponieważ obydwa leżą na pionowej prostej  3 x = 2 , ich odległość jest równa
     √ -- ( √ -- ) √ -- y − y = 3--3-+ 3− − 3--3-+ 3 = 3 3. B C 2 2

     
    Odpowiedź:  √ -- 3 3

  • Żądane pole figury obliczymy odejmując od pola czworokąta ABSC pole wycinka kołowego BSC . Czworokąt ABSC składa się z dwóch identycznych trójkątów ABS i ACS . Podstawa AS takiego trójkąta ma długość równą pierwszej współrzędnej punktu A , czyli AS = 6 . Jego wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość równą połowie długości odcinka BC , wiec pole jest równe
     -- 3√ 3 √ -- PABSC = 2PASB = 6 ⋅-----= 9 3. 2

    Do obliczenia pola wycinka BSC potrzebna nam jest znajomość miary kąta BSC . Obliczmy najpierw miarę kąta BSA . Ponieważ trójkąt BSA jest prostokątny (bo styczna jest prostopadła do promienia), mamy

    cos ∡BSA = BS--= 3-= 1. SA 6 2

    Zatem ∡BSA = 60∘ i ∡BSC = 120 ∘ . Interesujące nas pole wycinka koła stanowi więc trzecią część pola całego koła, czyli

    1 --⋅π ⋅3 2 = 3π . 3

    Możemy wreszcie policzyć pole figury opisanej w poleceniu,

     √ -- P = P − 3π = 9 3 − 3π . ABSC

     
    Odpowiedź:  √ -- 9 3− 3π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!