Zadanie nr 2361045

Aby narysować opisaną sytuację, przekształćmy podane równanie okręgu tak, aby było widać jaki jest jego środek i promień.

Jest to więc okrąg o środku i promieniu .

Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci dla pewnego (tak naprawdę jest jeszcze pionowa prosta , która nie jest tej postaci, ale widać, że ona nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z podanym okręgiem (podstawiamy do równania okręgu).

Skoro otrzymane równanie kwadratowe ma mieć dokładnie jeden pierwiastek, to jego musi być równa 0 (spodziewając się tego podzieliliśmy równanie stronami przez 2, żeby otrzymać prostszą -ę).

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Z obrazka widać, że jedną z szukanych stycznych jest prosta – łatwo to sprawdzić, okrąg ma środek i promień , więc jest styczny do tej prostej. To oznacza, że znamy odległość początku układu współrzędnych od interesujących nas punktów styczności: (gdybyśmy nie zauważyli styczności i okręgu, moglibyśmy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ).

Zatem punkty styczności i są punktami wspólnymi danego okręgu i okręgu (o środku w i promieniu 5). Mamy więc układ równań

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

Podstawiamy to do równania drugiego okręgu i mamy

Pierwsza wartość daje znany już nam punkt , więc zajmijmy się drugą. Mamy wtedy

Zatem i pozostało ustalić dla jakiego prosta przechodzi przez ten punkt. Mamy

Tym razem tak jak w pierwszym sposobie szukamy stycznej w postaci , ale zamiast przecinać ją z okręgiem sprawdźmy, kiedy jest ona odległa od środka okręgu o długość promienia . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

W naszej sytuacji (dla prostej ) otrzymujemy równanie

 
Odpowiedź: i