Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2361045

Dany jest okrąg o równaniu  2 2 x + y − 10x + 4y + 25 = 0 . Napisz równania stycznych do tego okręgu, przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Aby narysować opisaną sytuację, przekształćmy podane równanie okręgu tak, aby było widać jaki jest jego środek i promień.

 2 2 (x − 10x) + (y + 4y )+ 25 = 0 (x2 − 10x + 25 )+ (y 2 + 4y + 4 )− 25 − 4 + 2 5 = 0 (x − 5)2 + (y+ 2)2 = 22.

Jest to więc okrąg o środku (5,− 2) i promieniu r = 2 .


PIC


Sposób I

Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci y = ax dla pewnego a (tak naprawdę jest jeszcze pionowa prosta x = 0 , która nie jest tej postaci, ale widać, że ona nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy prosta y = ax ma dokładnie jeden punkt wspólny z podanym okręgiem (podstawiamy y = ax do równania okręgu).

 2 2 x + y − 10x + 4y + 25 = 0 x2 + (ax)2 − 10x + 4(ax)+ 25 = 0 x2 + a2x2 − 10x + 4ax+ 25 = 0 2 2 (a + 1)x − 2(5 − 2a)x + 2 5 = 0 / : 2 a2 + 1 25 ------ x2 − (5− 2a)x+ ---= 0. 2 2

Skoro otrzymane równanie kwadratowe ma mieć dokładnie jeden pierwiastek, to jego Δ musi być równa 0 (spodziewając się tego podzieliliśmy równanie stronami przez 2, żeby otrzymać prostszą Δ -ę).

 2 2 0 = Δ = (5 − 2a ) − 25 (a + 1 ) 0 = 25− 20a + 4a2 − 25a2 − 25 21a 2 + 2 0a = 0 a(2 1a+ 20) = 0 a = 0 ∨ a = − 20-. 21

Sposób II

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Z obrazka widać, że jedną z szukanych stycznych jest prosta y = 0 – łatwo to sprawdzić, okrąg ma środek (5,− 2) i promień r = 2 , więc jest styczny do tej prostej. To oznacza, że znamy odległość początku układu współrzędnych od interesujących nas punktów styczności: OB = 5 (gdybyśmy nie zauważyli styczności y = 0 i okręgu, moglibyśmy wyliczyć OB z trójkąta prostokątnego OSB ).

Zatem punkty styczności A i B są punktami wspólnymi danego okręgu i okręgu x2 + y2 = 52 (o środku w (0,0) i promieniu 5). Mamy więc układ równań

{ x2 + y2 − 10x + 4y + 25 = 0 2 2 x + y = 25

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

− 10x + 4y + 25 = − 25 4y + 50 = 10x 2- x = 5y + 5.

Podstawiamy to do równania drugiego okręgu i mamy

 ( ) 2- 2 2 5y + 5 + y = 25 -4-y2 + 4y + 25 + y2 = 2 5 2 5 2-9 2 2 5y + 4y = 0 ( ) y 29y + 4 = 0 25 10 0 y = 0 ∨ y = − ----. 29

Pierwsza wartość y daje znany już nam punkt B , więc zajmijmy się drugą. Mamy wtedy

 2 2 100 − 40 + 145 10 5 x = --y+ 5 = − --⋅----+ 5 = -----------= ----. 5 5 29 29 29

Zatem  ( ) A = 105,− 100 29 29 i pozostało ustalić dla jakiego a prosta y = ax przechodzi przez ten punkt. Mamy

− 100-= 105a ⇐ ⇒ a = − 10-0 = − 20-. 29 2 9 10 5 21

Sposób III

Tym razem tak jak w pierwszym sposobie szukamy stycznej w postaci y = ax , ale zamiast przecinać ją z okręgiem sprawdźmy, kiedy jest ona odległa od środka okręgu (5 ,−2 ) o długość promienia r = 2 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 .

W naszej sytuacji (dla prostej ax − y = 0 ) otrzymujemy równanie

 |5a+--2|- √ -2---- = 2 a + 1 ∘ ------ |5a + 2| = 2 a2 + 1 / ()2 2 2 (5a + 2) = 4a + 4 2 5a2 + 20a+ 4 = 4a2 + 4 2 1a2 + 20a = 0 a (21a+ 20) = 0 a = 0 ∨ a = − 2-0. 2 1

 
Odpowiedź: y = 0 i y = − 20x 21

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!