/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 2962121

Wykaż, że styczne do okręgu  2 2 x + y − 8x + 4y + 15 = 0 poprowadzone przez punkt A = (3,1) są prostopadłe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Jeżeli zapiszemy równanie okręgu w postaci

(x − 4 )2 + (y + 2)2 = 5

to widać, że mamy do czynienia z okręgiem o środku S = (4,− 2) i promieniu  -- r = √ 5 .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez B i C punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu A do okręgu, to

 √ -- SB = SC = r = 5.

Ponadto

 ∘ ------------------- 2 2 √ --- SA = (3− 4) + (1+ 2) = 10.

Zatem

 √ -- √ -- BS-- ---5- -1-- --2- sin α = SA = √ 10-= √ 2-= 2 ,

czyli  ∘ α = 45 . To oznacza, że  ∘ ∡A = 2α = 90 .

Sposób II

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyliczymy równania stycznych.

Proste przechodzące przez punkt A = (3,1) mają postać

y = m (x− 3)+ 1 y − mx + 3m − 1 = 0

(tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej x = 3 , ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną).

Prosta ta będzie styczna do danego okręgu jeżeli odległość środka S tego okręgu od tej prostej będzie równa  √ -- r = 5 . Na mocy wzoru na odległość punktu od prostej mamy więc równanie

 √ -- ∘ ------- |−--2−√-4m-+-3m--−-1| = 5 / ⋅ 1 + m 2 1 + m 2 ∘ ---------- |− 3 − m | = 5 (1+ m2) /()2 2 2 9 + 6m + m = 5+ 5m 0 = 4m 2 − 6m − 4 / : 2 2m 2 − 3m − 2 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 3-−-5- 1- 3+-5-- m = 4 = − 2 ∨ m = 4 = 2.

Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych otrzymanych prostych jest równy − 1 , więc proste te są prostopadłe.

Na koniec obrazek dla ciekawskich.


PIC


Wersja PDF
spinner