Zadanie nr 4702081

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x 2 + y2 − 10x + 6y+ 9 = 0 równoległych do prostej o równaniu 3x + 4y − 7 = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy dane równanie okręgu tak, aby było widać jaki ma środek i promień

2 2 x + y − 1 0x+ 6y + 9 = 0 (x 2 − 1 0x+ 25) + (y2 + 6y + 9) = 25 + 9 − 9 (x − 5)2 + (y + 3 )2 = 25.

Jest to więc okrąg o środku S = (5 ,− 3 ) i promieniu r = 5 .

Sposób I

Wszystkie proste równoległe do danej prostej są postaci 3x + 4y + m = 0 . Jeżeli taka prosta ma być styczna do okręgu, to odległość środka okręgu od tej prostej musi być równa promieniowi okręgu. Korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax 0 + By 0 + C| ---√---2----2---- A + B

otrzymujemy więc równanie.

|3⋅ 5+ 4 ⋅(− 3) + m | ------√--------------= 5 / ⋅5 32 + 42 |3+ m | = 25 3+ m = 25 lub 3 + m = − 25 m = 22 lub m = − 28.

Szukane styczne mają więc równania 3x + 4y + 22 = 0 i 3x + 4y − 28 = 0 .

Sposób II

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy 3 − 4 , więc proste równoległe do niej mają równanie postaci 3 y = − 4x − 3 + b (odejmujemy 3–kę, żeby nam się skróciła w równaniu okręgu). Sprawdzamy teraz, kiedy taka prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z danym okręgiem – podstawiamy y = − 3x − 3+ b 4 do równania okręgu.

( 3 ) 2 (x− 5)2 + − -x + b = 25 4 2 -9- 2 2 3- x − 10x + 25 + 1 6x + b − 2bx = 25 ( ) 25x 2 − 10 + 3b x + b2 = 0 / ⋅2 16 2 25 2 2 --x − (2 0+ 3b)x + 2b = 0. 8

Jeżeli powyższe równanie ma mieć jedno rozwiązanie, to musi być Δ = 0 . Sprawdzamy, kiedy tak jest.

0 = Δ = (20 + 3b)2 − 25b2 = (2 0+ 3b− 5b)(20 + 3b + 5b) = (2 0− 2b )(20+ 8b) b = 20-= 10 lub b = − 20-= − 5-. 2 8 2

Szukane styczne mają więc równania

3- 3- y = − 4 x − 3+ 10 = − 4 x+ 7

3- 5- 3- 11- y = − 4x − 3 − 2 = − 4x − 2 .

Sposób III

Tym razem najpierw wyznaczymy punkty styczności i szukanych stycznych z okręgiem. Dana prosta ma współczynnik kierunkowy 3 − 4 , więc proste prostopadłe do danej prostej mają równanie postaci y = 43x + b . Podstawiamy teraz w tym równaniu współrzędne punktu .