Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6339644

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu (x + 5)2 + (y − 3)2 = 2 5 równoległych do prostej o równaniu 3x+ 4y − 12 = 0 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Dany okrąg to okrąg o środku S = (− 5,3) i promieniu r = 5 .


PIC


Sposób I

Wszystkie proste równoległe do danej prostej są postaci 3x + 4y + m = 0 . Jeżeli taka prosta ma być styczna do okręgu, to odległość środka okręgu od tej prostej musi być równa promieniowi okręgu. Korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax 0 + By 0 + C| ---√---2----2---- A + B

otrzymujemy więc równanie.

|3⋅ (−5 )+ 4 ⋅3 + m | ------√--------------= 5 / ⋅5 32 + 42 |m − 3| = 25 m − 3 = − 25 lub m − 3 = 25 m = − 22 lub m = 28.

Szukane styczne mają więc równania 3x + 4y − 22 = 0 i 3x + 4y + 28 = 0 .

Sposób II

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy  3 − 4 , więc proste równoległe do niej mają równanie postaci  3 y = − 4x + 3 + b (dodajemy 3-kę, żeby nam się skróciła w równaniu okręgu). Sprawdzamy teraz, kiedy taka prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z danym okręgiem – podstawiamy y = − 3x+ 3+ b 4 do równania okręgu.

 ( 3 ) 2 (x+ 5)2 + − -x + b = 25 4 2 -9- 2 2 3- x + 10x + 25 + 1 6x + b − 2bx = 25 ( ) 25x 2 + 10 − 3b x + b2 = 0 / ⋅2 16 2 25 2 2 --x + (2 0− 3b)x + 2b = 0. 8

Jeżeli powyższe równanie ma mieć jedno rozwiązanie, to musi być Δ = 0 . Sprawdzamy, kiedy tak jest.

0 = Δ = (20 − 3b)2 − 25b2 = (2 0− 3b− 5b)(20 − 3b + 5b) = (2 0− 8b )(20+ 2b) b = 20-= 5- lub b = − 10. 8 2

Szukane styczne mają więc równania

 3- 5- 3- 11- y = − 4x + 3 + 2 = − 4 x+ 2

i

 3- 3- y = − 4 x+ 3− 10 = − 4 x− 7.

Sposób III

Tym razem najpierw wyznaczymy punkty styczności A i B szukanych stycznych z okręgiem. Dana prosta ma współczynnik kierunkowy  3 − 4 , więc proste prostopadłe do danej prostej mają równanie postaci y = 43x + b . Podstawiamy teraz w tym równaniu współrzędne punktu S .

 20- 20- 29- 3 = − 3 + b ⇒ b = 3 + 3 = 3 .

Szukamy teraz punktów wspólnych prostej y = 43x + 293 z okręgiem.

 ( ) 2 4- 29- 2 (x + 5 ) + 3 x+ 3 − 3 = 25 ( ) 2 2 4- 20- (x + 5 ) + 3 x+ 3 = 25 (x + 5 )2 + 16(x + 5 )2 = 25 9 25- 2 9 (x + 5) = 2 5.

Mamy stąd

(x+ 5)2 = 9 x+ 5 = − 3 lub x + 5 = 3 x = − 8 lub x = − 2.

Stąd odpowiednio y = 4x+ 29 = − 1 3 3 i y = 4x+ 29 = 7 3 3 . Zatem interesujące nas punkty styczności to A = (− 8,− 1) i B = (−2 ,7) .

Teraz korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji →v = [3 ,4] (wektor prostopadły do danej prostej) i P = A lub P = B . Równania stycznych mają więc postać

3(x + 8)+ 4 (y+ 1) = 0 lub 3(x + 2) + 4(y − 7) = 0 3x + 4y+ 28 = 0 lub 3x + 4y − 22 = 0.

 
Odpowiedź: 3x + 4y− 22 = 0 i 3x + 4y + 28 = 0

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!