/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 6634676

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x 2 + y2 − 2x + 6y − 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej 3x − 2y = 12 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu, tak aby ustalić jaki ma środek i promień

2 2 x + y − 2x + 6y − 3 = 0 (x2 − 2x + 1 )+ (y 2 + 6y + 9 )− 1 − 9 − 3 = 0 (x − 1)2 + (y + 3)2 = 1 3.

Jest to zatem okrąg o środku S = (1,− 3) i promieniu √ --- 13 . Możemy zatem zrobić schematyczny rysunek.

PIC

Szukane styczne mają być prostopadłe do danej prostej y = 32x− 6 , są zatem postaci y = − 2x + b 3 . Jest wiele różnych sposobów wyznaczenia współczynnika b , my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y 0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √A--2 +-B-2 .

W naszej sytuacji chcemy aby punkt S = (1 ,−3 ) był w odległości √ 13- od prostej 3y+ 2x − b = 0 . Prowadzi to do równania

|− 9 + 2 − b| √ --- √ --- ---√----------= 13 / ⋅ 13 9 + 4 |− 7 − b| = 13 − 7− b = − 13 lub − 7− b = 13 b = 6 lub b = − 20 .

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

3y + 2x− 6 = 0 lub 3y + 2x + 2 0 = 0.

Sposób II

Szukane proste mają mieć jeden punkt wspólny z danym okręgiem, tzn. układ równań

{ y = − 2x + b 2 32 x + y − 2x + 6y − 3 = 0

ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Układ ten sprowadza się do równania

( 2 ) 2 ( 2 ) x2 + − -x + b − 2x + 6 − --x + b − 3 = 0 3 3 2 4- 2 4- 2 x + 9 x − 3xb + b − 2x − 4x + 6b− 3 = 0 13 ( 4 ) ---x2 − -b + 6 x + (b2 + 6b − 3) = 0 / ⋅9 9 3 13x2 − (12b + 5 4)x+ (9b2 + 54b − 27) = 0 .

Ponieważ równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to Δ = 0 , czyli

2 2 (1 2b+ 54) − 52(9b + 54b − 27) = 0 / : 36 (2b + 9 )2 − 13 (b2 + 6b − 3 ) = 0 2 2 4b + 3 6b+ 81− 13b − 78b + 39 = 0 − 9b2 − 42b + 1 20 = 0 / : (− 3).

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

3b2 + 14b − 40 = 0 Δ = 142 + 4⋅3 ⋅40 = 6 76 = 262 − 14 − 26 40 20 − 14+ 26 b = ----------= − ---= − --- lub b = ----------= 2 . 6 6 3 6

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

2 20 2 y = − --x− --- lub y = − -x + 2 . 3 3 3

Jeszcze inny, naturalny sposób wyznaczenia b , to wyznaczenie punktów styczności szukanych stycznych z okręgiem (poprzez przecięcie okręgu z prostą równoległą do 3x − 2y = 12 i przechodzącą przez S ).  
Odpowiedź: 3y + 2x − 6 = 0 i 3y + 2x + 20 = 0

Wersja PDF