Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7911771

Znajdź równania prostych stycznych do dwóch okręgów:  2 2 (x− 3) + y = 9 i (x + 5)2 + y2 = 2 5 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Z rysunku widać, że będą 3 styczne do danych okręgów: prosta x = 0 i jeszcze dwie styczne symetryczne względem osi Ox . Zajmiemy się teraz wyznaczeniem tej stycznej od okręgów powyżej osi Ox .

Trójkąty CBE i CAD są podobne i łatwo z tego podobieństwa wyliczyć położenie punktu C :

EC DC ----= ---- EB DA EC--= 8-+-EC-- 3 5 5EC = 2 4+ 3EC ⇒ EC = 12.

Zatem C = (15,0) . Z trójkąta CBE możemy też łatwo wyliczyć tg α , co pozwoli nam wyznaczyć współczynnik kierunkowy szukanej stycznej.

 ∘ ---2------2 √ -------- √ ---- √ --- BC = EC − EB = 144-− 9 = 135 = 3 15 EB 3 √ 15 tg α = ----= -√----= ----. BC 3 15 15

Obliczony tangens to nie jest współczynnik kierunkowy górnej stycznej, bo współczynnik kierunkowy to tangens kąta jaki prosta tworzy z dodatnią półosią Ox , który jest równy 1 80∘ − α . Obliczony tangens różni się tylko znakiem od interesującego nas współczynnika kierunkowego. Zatem górna styczna jest postaci  √-- y = − 1155x + b . Współczynnik b wyliczamy z tego, że prosta ta ma przechodzić przez punkt C = (15,0) .

 √ --- √ --- 0 = − --1-5⋅ 15+ b ⇒ b = 15. 1 5

Zatem styczne mają równania

 √ --- √ --- √ --- √ --- x = 0, y = − ---15x + 15, y = --15x − 15. 15 15

 
Odpowiedź:  √-- √ --- √-- √ --- x = 0 , y = − 1155x + 15 , y = 1155x − 15

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!