/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 8256206

Dany jest okrąg o równaniu 2 2 x + y − 2x + 6y + 5 = 0 .

  • Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu x − 2y = 0 .
  • Oblicz pole trójkąta ABS , gdzie A i B są punktami przecięcia się stycznych z prostą o równaniu 3x − y + 4 = 0 , zaś S jest środkiem danego okręgu.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu, tak aby ustalić jaki ma środek i promień
    x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0 2 2 x − 2x + 1 + y + 6y + 9 − 5 = 0 2 2 (x− 1) + (y+ 3) = 5.

    Jest to zatem okrąg o środku S = (1,− 3) i promieniu √ -- 5 . Możemy zatem zrobić schematyczny rysunek.

    PIC

    Szukane styczne mają być prostopadłe do prostej y = 12x , są zatem postaci y = − 2x + b . Jest wiele różnych sposobów wyznaczenia współczynnika b , my pokażemy dwa z nich.

    Sposób I

    Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

    |Ax√0 +-By0-+-C-| A 2 + B2 .

    W naszej sytuacji chcemy aby punkt S = (1,− 3) był w odległości √ -- 5 od prostej y + 2x − b = 0 . Prowadzi to do równania

    |1-⋅(−-3)+-2-⋅1-−-b| √ -- √ -- √ ------ = 5 / ⋅ 5 1+ 4 |− 1− b | = 5 − 1− b = − 5 lub − 1− b = 5 b = 4 lub b = − 6.

    Są zatem dwie styczne spełniające warunki zadania.

    y = − 2x− 6 i y = −2x + 4

    Sposób II

    Szukane proste mają mieć jeden punkt wspólny z danym okręgiem, tzn. układ równań

    { y = − 2x + b 2 2 x + y − 2x + 6y+ 5 = 0

    ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Układ ten sprowadza się do równania

    2 2 x + (− 2x + b ) − 2x + 6(− 2x+ b)+ 5 = 0 x 2 + 4x 2 − 4xb+ b2 − 2x − 12x + 6b + 5 = 0 5x 2 − (1 4+ 4b)x + (b2 + 6b+ 5) = 0.

    Ponieważ równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to Δ = 0 , czyli

    (14 + 4b)2 − 20(b2 + 6b + 5) = 0 / : 4 2 2 (7+ 2b) − 5(b + 6b+ 5) = 0 49 + 28b + 4b2 − 5b2 − 30b − 25 = 0 − b2 − 2b + 24 = 0.

    Rozwiązujemy trzymane równanie kwadratowe.

    2 b + 2b − 24 = 0 Δ = 4 + 96 = 1 00 − 2− 10 − 2+ 10 b = ---------= − 6 lub b = ---------= 4. 2 2

    Są zatem dwie styczne spełniające warunki zadania.

    y = − 2x− 6 i y = −2x + 4

    Jeszcze inny, naturalny sposób wyznaczenia b , to wyznaczenie punktów styczności szukanych stycznych z okręgiem (poprzez przecięcie okręgu z prostą równoległą do x − 2y = 0 i przechodzącą przez S ).  
    Odpowiedź: y = − 2x − 6 i y = − 2x+ 4

  • Szukamy punktów A i B
    { { y = − 2x − 6 y = − 2x + 4 { y = 3x + 4 /-pierwsze { y = 3x + 4 /-pierwsze y = − 2x − 6 y = − 2x + 4 0 = 5x + 10 0 = 5x
    PIC

    Stąd A = (− 2,− 2) i B = (0,4) .

    Sposób I

    Aby obliczyć pole trójkąta ABS , korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA) , B = (xB ,yB) i C = (xC,yC ) .

    1 PABC = -|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA)(xC − xA)|. 2

    W naszej sytuacji

    P = 1-|(0 + 2)(− 3 + 2) − (4 + 2)(1 + 2)| = 1-|− 2 − 18| = 10 . ABS 2 2

    Sposób II

    Jeżeli robimy dość dokładne rysunki, to możemy zauważyć, że trójkąt ABS wygląda na prostokątny. Sprawdźmy czy tak jest. Liczymy długości boków tego trójkąta.

    ∘ --------------------- √ ------ √ --- AS = (1+ 2)2 + (− 3 + 2)2 = 9+ 1 = 10 ∘ --------------- √ ------- √ --- BS = 12 + (− 3 − 4)2 = 1 + 49 = 50 ∘ ------------- √ ------- √ --- AB = 22 + (4+ 2)2 = 4 + 36 = 4 0.

    Widać zatem, że AS 2 + AB 2 = BS 2 , więc trójkąt jest prostokątny i możemy policzyć jego pole mnożąc długości przyprostokątnych.

    1 1√ --- √ --- P = -AS ⋅AB = -- 10 ⋅ 40 = 1 0. 2 2

     
    Odpowiedź: 10

Wersja PDF