Zadanie nr 9338176

Wyznacz równanie prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S(4,0 ) i promieniu r = 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Proste przchodzące przez początek układu są postaci y = ax (tak naprawdę jedna z nich nie jest tej postaci: x = 0 , ale widać, że nie jest to szukana styczna). Musimy zatem wyznaczyć współczynnik (z rysunku widać, że będą to dwie wartości wzajemnie przeciwne).

Sposób I

Współczynnik kierunkowy prostej y = ax to dokładnie tangens kąta jaki ta prosta tworzy z osią . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS mamy

∘ ---2------2 √ ------- √ -- AO = OS − AS = √ -16− 4 = 2 3 AS 2 3 tgα = ----= -√---= ----. AO 2 3 3

Druga wartość to √ 3 − -3- .

Sposób II

Tym razem wstawmy równanie prostej y = ax do równania okręgu i sprawdźmy kiedy mają dokładnie jeden punkt wspólny.

2 2 (x − 4) + y = 4 (x − 4)2 + (ax)2 = 4 2 2 2 x − 8x + 1 6+ a x = 4 (a2 + 1)x2 − 8x + 12 = 0 0 = Δ = 64 − 48 (a2 + 1 ) = 16 − 48a2 = 1 6(1− 3a2) √ -- a2 = 1- ⇒ a = ± --3. 3 3

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

Prosta jest styczna do okręgu dokładnie wtedy, gdy odległość od niej środka tego okręgu jest równa jego promieniowi. Pytanie zatem brzmi: kiedy punkt (4,0 ) jest odległy od prostej y = ax o 2? Daje to nam równanie

|y − ax| |0− 4a| 2 = √--------= √-------- 1 +∘ a2---- 1 + a2 |4a | = 2 a2 + 1 ∘ ------ |2a | = a2 + 1 / ()2 √ -- 2 2 2 --3- 4a = a + 1 ⇒ 3a = 1 ⇒ a = ± 3 .

Sposób IV

Na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ----------- √ ------- √ -- OA = OS 2 − AS 2 = 1 6− 4 = 2 3.

Zatem pole trójkąta AOS jest równe

1 1 √ -- √ -- PAOS = -OA ⋅AS = --⋅2 3⋅ 2 = 2 3. 2 2

To z kolei pozwala wyliczyć długość wysokości trójkąta AOS opuszczonej z wierzchołka .

√ -- √ -- √ -- 1-OS ⋅ h = P = 2 3 ⇒ h = 2--3-= 3. 2 AOS 2

To oznacza, że druga współrzędna punktu jest równa √ -- 3 lub √ -- − 3 (dla punktu poniżej osi ). Pierwszą współrzędną możemy wyliczyć z równania okręgu.

2 2 (x − 4) + y = 4 (x − 4)2 + 3 = 4 (x − 4)2 = 1 x − 4 = − 1 ∨ x − 4 = 1 x = 3 ∨ x = 5.

Z rysunku widać, że musi być x = 3 , czyli √ -- A = (3, 3) lub √ -- A = (3,− 3) . Teraz pozostało sprawdzić dla jakiej wartości prosta y = ax przechodzi przez punkt . Mamy odpowiednio (podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej)