Z punktu A=(-frac{9}{2},frac{9}{2}) poprowadzono styczne do okręgu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Styczne do okręgu, 9525142

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 9525142

Z punktu $( 9 9) A = − 2,2$ poprowadzono styczne do okręgu $2 2 (x+ 2) + (y+ 3) = 50$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ , gdzie $BC$ jest odcinkiem łączącym punkty styczności.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku – dany okrąg to okrąg o środku $S = (− 2,− 3)$ i promieniu $√ --- √ -- r = 50 = 5 2$ .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez $B$ i $C$ punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu $A$ do okręgu, to

√ --- √ -- SB = SC = r = 50 = 5 2.

Ponadto

∘ --------------------------- ∘ ---------- √ --- ( 9) 2 ( 9 )2 25 225 5 10 SA = − 2 + -- + − 3 − -- = ---+ ----= ------ 2 ∘ ------2-- ∘ ---4 4-- 2 ∘ ----------- 250 50 5√ 2 AB = SA 2 − SB2 = ----− 50 = ---= ----- √ -- 4 √ -- 4 2 SB 5 2 2 2 5 sin α = SA--= -5√-10 = √---= --5--. -2--- 5

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny $ADB$ i obliczamy długości odcinków $BD$ i $AD$ .

√ -- √ -- √ --- BD--= sin α ⇒ BD = 5--2-⋅ 2--5-= 10 AB ∘ --2-----5 ∘ --- √ --- ∘ ------------ 50 10 10 AD = AB 2 − BD 2 = ---− 10 = ---= -----. 4 4 2

Pozostało obliczyć pole trójkąta $ABC$ .

--- 1 √ --- √ 10 PABC = --⋅BC ⋅AD = BD ⋅AD = 10⋅ -----= 5. 2 2

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że

√ --- √ -- √ -- 5 10 5 2 SB = 5 2, SA = -----, AB = -----. 2 2

To pozwala obliczyć pole trójkąta prostokątnego $ABS$ .

√ -- 1 1 5 2 √ -- 25 PABS = --⋅AB ⋅SB = --⋅-----⋅5 2 = ---. 2 2 2 2

Trójkąty prostokątne $ABS$ i $ADB$ mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ , więc są podobne. Skala tego podobieństwa jest równa

√-- SA 5-120- √ -- k = ----= 5√-2-= 5. AB --2-

Pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, więc

P = 2P = 2 ⋅-1-P = 2⋅ 1-⋅ 25-= 5. ABC ADB k 2 ABS 5 2

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że

√ -- 5√ 10- 5 √ 2- 2√ 5- SB = 5 2, SA = -----, AB = -----, sin α = -----. 2 2 5

Mamy ponadto

5√2- √ -- cosα = AB--= -√2-- = √1--= --5-. SA 5--10 5 5 2

To pozwala obliczyć $sin ∡BAC = sin 2α$ .

√ -- √ -- 2--5- --5- 4- sin2 α = 2 sin α cosα = 2⋅ 5 ⋅ 5 = 5.

Liczymy teraz pole trójkąta $ABC$ (korzystamy ze wzoru z sinusem).

√ -- √ -- 1- 1- 5--2- 5--2- 4- PABC = 2 AB ⋅AC sin 2α = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 5.

Sposób IV

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyznaczymy równania stycznych.

Proste przechodzące przez punkt $A = (− 9, 9) 2 2$ mają postać $y = m (x + 9)+ 9 2 2$ (tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej $9 x = − 2$ , ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną). Sprawdźmy, kiedy prosta tej postaci