/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 9987517

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) środek S okręgu o promieniu √ -- 5 leży na prostej o równaniu y = x + 1 . Przez punkt A = (1,2 ) , którego odległość od punktu S jest większa od √ -- 5 , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C . Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu S . Rozważ wszystkie przypadki.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku. Wykonując go powinniśmy zauważyć, że dany punkt A leży na danej prostej y = x+ 1 .

ZINFO-FIGURE

Ponieważ promienie SB i SC są prostopadłe do poprowadzonych stycznych, deltoid ABSC składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Wiemy więc, że

1 √ -- 15 = PABSC = 2PABS = 2⋅ --⋅SB ⋅AB = 5AB √ -- 2 AB = 1√5--= 1-5--5 = 3√ 5-. 5 5

Stąd

----------- ∘ 2 2 √ ------- √ --- √ -- AS = AB + SB = 4 5+ 5 = 50 = 5 2.

Szukamy więc punktu A = (x,x + 1) na danej prostej, dla którego

√ -- 5 2 = BA /()2 2 2 5 0 = (x − 1) + (x + 1− 2) 5 0 = 2(x − 1)2 / : 225 = (x − 1 )2 − 5 = x − 1 ∨ 5 = x− 1 − 4 = x ∨ x = 6.

Mamy wtedy y = x + 1 = −3 i y = x + 1 = 7 odpowiednio. Czyli S = (− 4,− 3) lub S = (6,7) .  
Odpowiedź: S = (− 4,− 3) lub S = (6,7)

Wersja PDF