Zadanie nr 9987517
W kartezjańskim układzie współrzędnych środek
okręgu o promieniu
leży na prostej o równaniu
. Przez punkt
, którego odległość od punktu
jest większa od
, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
i
. Pole czworokąta
jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu
. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku. Wykonując go powinniśmy zauważyć, że dany punkt leży na danej prostej
.
Ponieważ promienie i
są prostopadłe do poprowadzonych stycznych, deltoid
składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Wiemy więc, że
![1 √ -- 15 = PABSC = 2PABS = 2⋅ --⋅SB ⋅AB = 5AB √ -- 2 AB = 1√5--= 1-5--5 = 3√ 5-. 5 5](https://img.zadania.info/zad/9987517/HzadR6x.png)
Stąd
![----------- ∘ 2 2 √ ------- √ --- √ -- AS = AB + SB = 4 5+ 5 = 50 = 5 2.](https://img.zadania.info/zad/9987517/HzadR7x.png)
Szukamy więc punktu na danej prostej, dla którego
![√ -- 5 2 = BA /()2 2 2 5 0 = (x − 1) + (x + 1− 2) 5 0 = 2(x − 1)2 / : 225 = (x − 1 )2 − 5 = x − 1 ∨ 5 = x− 1 − 4 = x ∨ x = 6.](https://img.zadania.info/zad/9987517/HzadR9x.png)
Mamy wtedy i
odpowiednio. Czyli
lub
.
Odpowiedź: lub