Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5353985

Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg x2 + y2 − 8y+ 12 = 0 w dwóch punktach A i B . Uzasadnij, że liczba |OA |⋅|OB | nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształćmy na początek podane równanie okręgu.

 2 2 x + y − 8y + 12 = 0 x2 + y2 − 8y + 16 = 4 2 2 2 x + (y − 4) = 2 .

Jest to więc okrąg o środku w punkcie (0,4) i promieniu 2. Możemy teraz narysować opisaną sytuację.


PIC


Proste przechodzące przez początek układu możemy zapisać w postaci y = mx . Ta postać ma jednak wadę, bo nie uwzględnia pionowej prostej x = 0 . Dlatego lepiej jest te proste sparametryzować wzorem x = my (teraz też nie ma jednej prostej: y = 0 , ale ona nie przecina okręgu). Szukamy punktów wspólnych takiej prostej i okręgu.

 2 2 (my ) + y − 8y+ 12 = 0 y2(m 2 + 1)− 8y+ 12 = 0.

Zanim zajmiemy się tym równaniem, zobaczmy co mamy wyliczyć. Jeżeli A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) to mamy wyliczyć

 ∘ --2----2- ∘ -2----2- ∘ -----2----2-------2----2-- OA ⋅ OB = x A + yA ⋅ xB + yB = (m 2y A + yA )(m2y B + yB) = ∘ --------------- = (m 2 + 1 )2y2Ay2B = (m 2 + 1 )yAyB .

Opuściliśmy pierwiastek, bo z rysunku jest jasne, że yA > 0 i yB > 0 (wszystkie punkty okręgu mają tę własność). Możemy więc obliczyć szukany iloczyn ze wzorów Viète’a.

 2 2 --12--- OA ⋅OB = (m + 1)yAyB = (m + 1) ⋅m 2 + 1 = 12.

Zauważmy, że nie musimy sprawdzać, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma pierwiastki – my zakładamy, że je ma (co jakoś tam przekłada się na m ) i badamy ich własności.

Dla ciekawskich. Zadanie jest szczególnym przypadkiem tzw. twierdzenia o siecznej: jeżeli przez punkt P poprowadzimy sieczną okręgu o środku O i promieniu r , która przecina ten okrąg w punktach A i B , to

 { PO 2 − r2 jeżeli P jest na zewn ątrz okręgu PA ⋅P B = r2 − PO 2 jeżeli P jest wewn ątrz okręgu

PIC


W szczególności iloczyn ten nie zależy od wyboru siecznej (może też być styczna, wtedy A = B ). Twierdzenie to nosi też nazwę twierdzenia o potędze punktu względem okręgu – można sobie to wygooglać.  
Odpowiedź: 12

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!