Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6413632

Uzasadnij, że koło o środku S = (− 1 5,− 11) i promieniu r = 8 jest w całości zawarte w trójkącie o wierzchołkach A = (− 24 ,28), B = (− 24,− 20), C = (0,− 20) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wprawdzie podane liczby są dość duże, ale możemy sobie naszkicować opisaną sytuację.


PIC


Z obrazka widać, że łatwo napisać równania dwóch boków trójkąta:

AB : x = − 24 BC : y = − 20.

Zauważmy jeszcze, że punkt S leży na prawo od prostej AB i powyżej prostej BC .

Napiszmy teraz równanie boku AC . Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB,yB ) :

 y − y y − yA = -B-----A(x − xA ). xB − xA

Stosujemy ten wzór dla A i C :

 − 20− 28 y − 28 = ---------(x + 24 ) ⇒ y = − 2x − 20 ⇒ y+ 2x+ 20 = 0. 0 + 24

Zauważmy teraz (wstawiając współrzędne punktu S do równania prostej AC ), że punkt S leży poniżej prostej AC . To oznacza, że punkt S leży wewnątrz trójkąta ABC .

Powinno być jasne, że wystarczy pokazać, iż podane koło nie przecina prostych zawierających boki trójkąta ABC . Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, że środek tego koła jest odległy od boków trójkąta o więcej niż promień r = 8 .

Odległość punktu S od prostych AB i BC to odpowiednio

− 15 − (− 24) = 9

oraz

− 11 − (− 20) = 9.

Obie te liczby są większe od 8, więc podany okrąg nie przecina tych prostych. Pozostało sprawdzić bok AC . Liczymy odległość punktu S od tej prostej.

|− 11− 30+ 20| 21 -----√----------- = √---≈ 9,39 > 8 . 1+ 4 5

Zatem okrąg nie przecina też boku AC .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!