/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 1751585

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y , spełniona jest nierówność

x4 + y4 > xy (x 2 + y2).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny

4 4 2 2 x + y > xy (x + y ) x4 − x3y + y4 − xy 3 > 0 3 3 x (x − y) − y (x − y ) > 0 (x − y)(x3 − y3) > 0.

Możemy oczywiście tę nierówność przekształcać dalej – tak zrobimy w kolejnym sposobie, ale możemy też zakończyć dowód w tym miejscu. Zauważmy, że z założenia x ⁄= y , więc albo x > y albo y > x . W pierwszym przypadku oba czynniki lewej strony są dodatnie, a w drugim przypadku czynniki są ujemne. To oznacza, że otrzymana nierówność jest zawsze spełniona.

Sposób II

Tak jak poprzednio przekształcamy nierówność do postaci

(x − y )(x3 − y3) > 0,

ale teraz przekształcamy ją dalej – korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.

(x − y )(x− y)(x2 + xy + y2) > 0 2 2 2 (x − y ) (x + xy+ y ) > 0.

Oczywiście (x − y)2 > 0 , bo x ⁄= y . Pozostało więc wykazać, że zawsze

x 2 + xy + y2 > 0.

Nierówność tę można udowodnić na różne sposoby, np. możemy na nią popatrzeć jak na nierówność kwadratową zmiennej x z parametrem y . Liczymy Δ –ę.

2 2 2 Δ = y − 4y = − 3y .

Jeżeli y ⁄= 0 , to Δ < 0 , więc parabola będąca wykresem funkcji

2 2 f(x) = x + xy + y

znajduje się w całości powyżej osi Ox . Jeżeli natomiast y = 0 , to z założenia x ⁄= 0 i wtedy

x2 + xy + y2 = x2 > 0.

To oznacza, że faktycznie

x2 + xy + y2 > 0

o ile tylko x ⁄= y .

Sposób III

Jeżeli y = 0 , to x ⁄= 0 , to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że y ⁄= 0 . Możemy wtedy podzielić nierówność stronami przez 4 y .

x4 + y4 > x 3y+ xy3 / : y4 ( ) ( ) x 4 x 3 x y- + 1 > y- + y.

Podstawiamy teraz x t = y i przekształcamy dalej.

t4 + 1 > t3 + t t4 − t3 > t− 1 3 t (t− 1)− (t− 1) > 0 (t − 1)(t3 − 1) > 0 (t − 1)(t− 1)(t2 + t + 1) > 0 2 2 (t − 1) (t + t+ 1) > 0.

Wystarczy teraz zauważyć, że oba czynniki tego iloczynu są dodatnie. Pierwszy jest dodatni, bo x ⁄= y , czyli t ⁄= 1 , a drugi, bo Δ = 1 − 4 = − 3 < 0 .

Wersja PDF