/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 1907545

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b prawdziwa jest nierówność

√ ---- 3a+--3b-≥ 2ab . 4

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – obie strony są nieujemne, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

√ ---- 3a+--3b-≥ 2ab / ⋅4 4 √ ---- (3a + 3b)2 ≥ 4 2ab /()2 2 2 9a + 1 8ab+ 9b ≥ 32ab 2 2 9a − 1 8ab+ 9b + 4ab ≥ 0 (3a − 3b)2 + 4ab ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF