/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 2020809

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej y takiej, że x > 2y , prawdziwa jest nierówność

x2 + 3xy − 10y2 > 0.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Szacujemy lewą stronę – korzystamy przy tym z podanych informacji, że x > 2y i y > 0 .

x2 + 3xy − 10y2 > (2y)2 + 3⋅2y ⋅y − 10y 2 = 4y2 + 6y2 − 10y 2 = 0.

Sposób II

Liczby x i y są dodatnie oraz

x- 2y- y > y = 2.

Przekształćmy teraz interesującą nas nierówność tak, aby podstawić x t = y .

2 2 2 x + 3xy − 1 0y > 0 / : y ( x ) 2 x -- + 3 ⋅--− 10 > 0 y y t2 + 3t− 10 > 0.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeżeli t > 2 , to faktycznie

2 t + 3t− 1 0 > 4+ 6− 10 = 0.

Sposób III

Tak jak poprzednio sprowadzamy sytuację do prawdziwości nierówności

t2 + 3t − 10 > 0.

Zauważmy teraz, że pierwsze współrzędna wierzchołka paraboli

f(t) = t2 + 3t − 10

jest równa x = − 3 2 . Ponadto ramiona tej paraboli są skierowane w górę, więc funkcja f jest rosnąca na przedziale [ 3 ] − 2,+ ∞ . W szczególności jeżeli t > 2 , to

f(t) > f (2) = 4+ 6− 10 = 0.
Wersja PDF