/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 2502546

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y , prawdziwa jest nierówność

(3x + y)(x+ 3y) > 16xy .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

(3x + y)(x + 3y) > 1 6xy 3x 2 + 9xy + xy + 3y 2 − 1 6xy > 0 3x 2 − 6xy + 3y2 > 0 / : 3 2 2 x − 2xy + y > 0 (x − y)2 > 0.

Ponieważ z założenia x ⁄= y , więc otrzymana nierówność jest prawdziwa. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF