Zadanie nr 3343064

Wykaż, że rozwiązaniem nierówności 2 √ -- √ -- x − 3x + 2x − 3 2 < 0 jest przedział √ -- (− 2,3) .

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

√ -- √ -- x2 − 3x + 2x − 3 2 < 0 √ -- √ -- x2 − (3 − 2)x − 3 2 < 0 √ -- 2 √ -- √ -- √ -- Δ = (3 − 2-) + 12 2 = 9-− 6 2 + 2 + 12 2 = = 9+ 6 √ 2+ 2 = (3+ √ 2)2 √ -- √ -- √ -- √ -- 3-−---2−--(3+----2)- √ -- 3-−---2-+-(3-+---2)- x 1 = 2 = − 2, x2 = 2 = 3 √ -- x ∈ (− 2 ,3).

Sposób II

Zauważmy, że w danej nierówności można łatwo wyłączyć x− 3 .

2 √ -- √ -- x − 3x + 2x − 3 2 < 0 √ -- x(x −√3)-+ 2(x − 3 ) < 0 (x + 2)(x − 3) < 0 .

No i otrzymaliśmy zwykłą nierówność kwadratową, której rozwiązanie jest przedział √ -- (− 2,3 ) .

Sposób III

Jeżeli nie zauważmy, że jest pełnym kwadratem, to otrzymamy rozwiązanie

√ -- √ -- x 2 − (3 − 2)x − 3 2 < 0 Δ = (3 − √ 2)2 + 12√ 2-= 9− 6√ 2+ 2+ 12√ 2-= 11 + 6√ 2- √ -- ∘ ------√--- √ -- ∘ ------√--- 3− 2− 11 + 6 2 3− 2+ 11 + 6 2 x 1 = ----------------------, x2 = ---------------------- ( √ -- 2∘ ------√--- √ -- ∘ -----2√---) 3−----2−----11-+-6--2- 3−----2+----11-+-6--2- x ∈ 2 , 2 .

Teraz wystarczy sprawdzić, że lewy koniec tego przedziału to √ -- − 2 , a prawy to 3. Sprawdzamy

∘ ---------- √ -- √ -- √ -- 3−----2−----11-+-6--2-=? − 2 / ⋅2 ∘2 ---------- √ -- √ --? √ -- 3− 2− ∘ 11-+-6--2-= − 2 2 √ --? √ -- 2 3+ 2= 11 + 6 2 /() √ -- ? √ -- 9+ 6 2+ 2= 11 + 6 2 0 = 0.

Podobnie sprawdzamy prawy koniec przedziału.

∘ ---------- √ -- √ -- 3−----2+----11-+-6--2-=? 3 / ⋅2 ∘2 ---------- √ -- √ --? 3∘ −---2-+----11+ 6 2 = 6 √ --? √ -- 2 11 + 6 2 = 3 + 2 /() √ --? √ -- 1 1+ 6 2 = 9 + 6 2 + 2 0 = 0.

Sposób IV

Wiemy, że przedział √ -- (− 2,3) jest rozwiązaniem nierówności kwadratowej

√ -- (x + 2 )(x− 3) < 0.

Wymnażając nawiasy mamy

√ -- √ -- x2 − 3x+ 2x − 3 2 < 0,

czyli dokładnie nierówność z treści zadania.