Zadanie nr 3925838

Uzasadnij, że liczba √ --- 17 spełnia nierówność √ -- √ -- √ --- 7x + 1 2 ≥ 2 2x + 3 1 4 .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozwiązujemy podaną nierówność. Ponieważ √ -- √ -- √ -- 2 2 = 8 > 7 , wyrażenia z -em przenosimy na prawą stronę nierówności, a resztę liczb na lewą.

√ -- √ -- √ --- 7x + 12 ≥ 2 2x + 3 14 √ --- √ -- √ -- 1 2− 3 14-≥ 2 2x-− -7x -- -- 1 2− 3 √ 14 ≥ (2√ 2 − √ 7)x / : (2√ 2 − √ 7 ) √ --- 12−--3--14- √ -- √ --≥ x 2 2 − 7

Usuwamy teraz niewymierność z mianownika.

√ --- √ --- √ -- √ -- 12-−-3---14 (12−--3--14)(2--2-+---7)- x ≤ 2 √ 2− √ 7-= (2√ 2− √ 7)(2√ 2-+ √ 7) √ -- √ -- √ --- √ ------ 24---2+--12--7-−-6--28-−-3--14-⋅7- x ≤ √ --2 √ --2 √ -- (2√ 2) − (√ -7) √ -- 24 2+ 12 7 − 12 7 − 21 2 x ≤ ---------------1--------------- √ -- √ --- x ≤ 3 2 = 18.

Oczywiście liczba √ --- x = 17 spełnia tę nierówność.

Sposób II

Podstawiamy w danej nierówności √ --- x = 1 7 i przekształcamy tę nierówność w sposób równoważny.

√ -- √ --- √ --√ --- √ --- 7 ⋅ 17 + 12 ≥ 2 2⋅ 17 + 3 14 √ --- √ -√ --- √ -√ --- 12 − 3 14 ≥ 8 17 − 7 17 √ --- √ ---√ -- √ -- √ -- √ -- 12 − 3 14 ≥ 17( 8 − 7) / : ( 8− 7) 12 − 3√ 14- √ --- -√-----√--- ≥ 17. 8 − 7

Usuwamy teraz niewymierność z mianownika.

--- √ --- √ --- √ -- √ -- √ 17 ≤ 1√2-−-3√-14-= (12√-−-3-√14)(√-8-+-√-7-) 8− 7 ( 8− 7)( 8+ 7) √ -- √ -- √ ------ √ ------ √ --- 12--8-+-12--7-−-3--1-4⋅8-−-3---14⋅7- 17 ≤ 8 − 7 √ --- √ -- √ -- √ -- √ -- √ 17-≤ 24√ -2+ √12--7 − 12 7 − 21 2 17 ≤ 3 2 = 18.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.