/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 4026739

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że jeżeli a ,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab (a + b)(a2 − ab + b2) ≥ ab(a + b).

Jeżeli a+ b = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że a + b > 0 . Możemy wtedy podzielić stronami przez a + b i mamy

a2 − ab + b2 ≥ ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 2 (a − b) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność

3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab a3 − a2b + b3 − ab2 ≥ 0 2 2 a (a − b) − b (a − b) ≥ 0 (a2 − b2)(a − b) ≥ 0 (a + b)(a − b)(a − b) ≥ 0 (a + b)(a − b)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF