/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 4638705

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność

b(5b − 4a) + a2 ≥ 0.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 b(5b − 4a )+ a ≥ 0 5b 2 − 4ab + a 2 ≥ 0 2 2 2 b + 4b − 4ab + a ≥ 0 b2 + (2b − a)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF