/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 4841771

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz dla każdej liczby rzeczywistej y , spełniających warunek x + y ≥ − 2 , prawdziwa jest nierówność

x2(x+ 2)+ y2(y + 2) ≥ xy (x+ y+ 4).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – rzuca się w niej w oczy kilka wzorów skróconego mnożenia.

2 2 x (x + 2) + y (y + 2 ) ≥ xy(x + y + 4) (x3 + y3) + 2(x2 + y2) ≥ xy (x + y)+ 4xy (x + y)(x 2 − xy + y2)− (x + y )xy + 2(x2 + y2 − 2xy ) ≥ 0 2 2 2 (x + y)(x − 2xy + y )+ 2(x− y) ≥ 0 (x + y)(x − y )2 + 2(x − y )2 ≥ 0 2 (x + y + 2)(x − y) ≥ 0.

Ponieważ z założenia x + y ≥ − 2 otrzymana nierówność jest zawsze spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Sposób II

Zauważmy, że jeżeli x = y , to po obu stronach nierówności mamy 2x 3 + 4x 2 . To jest przesłanka do tego, że w tej nierówności powinno dać się wyłączyć (x − y) przed nawias. Próbujemy to zrobić.

2 2 x (x+ 2)+ y (y+ 2) ≥ xy(x + y + 4 ) (x 3 − x 2y)+ (y3 − y 2x)+ 2(x2 − 2xy + y2) ≥ 0 2 2 2 x (x− y)− y (x− y)+ 2(x − y) ≥ 0 (x − y )(x2 − y2 + 2(x− y)) ≥ 0

Wyrażenie w drugim nawiasie jest równe

2 2 x − y + 2(x − y ) = (x − y)(x + y) + 2(x − y) = (x− y)(x + y + 2),

więc nierówność przyjmuje postać

(x − y)2(x + y + 2) ≥ 0.

Ponieważ z założenia x + y ≥ 2 otrzymana nierówność jest zawsze spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Wersja PDF