Zadanie nr 6058556

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność

∘ -------- ∘ -------- 1 1 1 1 1 1 --+ ---⋅ --+ ---− √---- ≥ ---. x xy y xy xy xy

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny – korzystamy po drodze z faktu, że liczby i są dodatnie.

∘ -------- ∘ -------- 1 1 1 1 1 1 --+ --- ⋅ --+ ---− √---- ≥ --- / ⋅ xy x ∘xy-----y-- xy ∘ xy-----xy √xy--⋅ 1-+ -1- ⋅√xy--⋅ 1-+ -1-− √xy--≥ 1 x xy y xy xy ∘ ------√ ------ √ --- y+ 1⋅ x-+-1-− xy ≥ 1 ∘y -+--1⋅√ x + 1 ≥ 1+ √xy-.

Obie strony są teraz nieujemne, więc możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu.

√ --- (y+ 1)(x + 1) ≥ 1 + 2 xy + xy xy + x + y + 1 ≥ 1 + 2√xy--+ xy √ --- x+ y ≥ 2 xy .

Sposób I

Podnosimy nierówność jeszcze raz stronami do kwadratu

x2 + y2 + 2xy ≥ 4xy x2 − 2xy + y2 ≥ 0 2 (x − y) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Nierówność możemy zapisać w postaci

√ --- x+ y ≥ 2 xy (√ -) 2 √ -- 2 √ --√ -- x + ( y ) − 2 x y ≥ 0 (√x--− √y--)2 ≥ 0

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.