/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 7444870

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a , prawdziwa jest nierówność x+y+aa-+ yx > 2 .

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x + a y ------+ -- > 2 / ⋅ x(y+ a) y + a x (x+ a)x + y(y + a) > 2x (y+ a) 2 2 x + ax + y + ay − 2xy − 2ax > 0 (x− y)2 + a(y− x) > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia a > 0 i y > x ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF