Zadanie nr 7492422
Wykaż, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych , spełniona jest nierówność: .
Rozwiązanie
Jeżeli lub to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że .
Sposób I
Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Ponieważ nierówność jest jednorodna (każdy składnik jest jednomianem stopnia 3), możemy łatwo zamienić nierówność na nierówność, w której jest tylko jedna zmienna – dzielimy nierówność stronami przez .
Podstawiamy teraz i mamy
Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków lewej strony jest , więc dzielimy ten wielomian przez .
Teraz jest jasne, że dla wielomian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne.