Zadanie nr 7929366
Udowodnij, że dla dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Rozwiązanie
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny. Ponieważ , możemy nierówność pomnożyć stronami przez , ale musimy przy tym zmienić znak nierówności.
Prawdziwość otrzymanej nierówności uzasadnimy na dwa sposoby.
Sposób I
Zauważmy, że lewa strona nierówności to pełen kwadrat
To oczywiście oznacza, że nierówność ta jest zawsze spełniona.
Sposób II
Wykresem lewej strony nierówności (traktowanej jako funkcja zmiennej ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę, której wierzchołek leży na osi (bo ). To oznacza, że nierówność ta rzeczywiście jest prawdziwa.