/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 8195748

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli xy > 0 to x y y + x ≥ 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając z podanego założenia.

 2 2 x--+-y--≥ 2 xy x2 + y2 ≥ 2xy (x − y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa.

Sposób II

Jeżeli iloczyn liczb x i y jest dodatni, to dodatni jest również ich iloraz. Więc nierówność jest równoważna nierówności

x-− 2 + y-≥ 0 y x ( ∘ -- ∘ --)2 x-− y- ≥ 0, y x

a ta nierówność jest oczywiście spełniona.

Wersja PDF
spinner