Zadanie nr 8909577

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

4 2 x − x − 2x + 3 > 0.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

4 2 4 2 2 2 x − x − 2x+ 3 = x − x − 2x + 2 + 1 = x (x − 1)− 2(x− 1)+ 1 = = x2(x − 1)(x + 1) − 2(x − 1) + 1 = (x − 1 )(x3 + x2 − 2)+ 1.

Widać, że x = 1 jest wciąż pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie, więc wielomian ten jest podzielny przez x − 1 . Dzielimy

3 2 3 2 2 2 2 x + x − 2 = x − x + 2x − 2 = x (x − 1)+ 2(x − 1) = 2 2 ( 2 ) = x (x − 1) + 2(x − 1)(x + 1) = (x − 1)(x + 2x + 2) = (x − 1) (x + 1 ) + 1 .

Mamy zatem

4 2 2( 2 ) x − x − 2x + 3 = (x− 1) (x+ 1) + 1 + 1.

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność

x 4 − x 2 − 2x + 3 ≥ 1.

Sposób II

Próbujemy zapisać lewą stronę nierówności jako sumę wyrażeń, które są nieujemne – spróbujemy pozbyć się minusów wciągając je do wyrażeń postaci (a − b)2 .

4 2 2 2 2 2 x − x − 2x + 3 = (x − 1) + 2x − 1− x − 2x + 3 = = (x2 − 1)2 + (x2 − 2x + 1) + 1 = (x 2 − 1 )2 + (x − 1 )2 + 1.

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność

x 4 − x 2 − 2x + 3 ≥ 1.

Sposób III

Tym razem użyjemy pochodnych. Jeżeli f(x) = x4 − x2 − 2x+ 3 to

f ′(x ) = 4x3 − 2x − 2 = 2 (2x3 − x− 1).

Aby określić znak pochodnej rozłożymy ją na czynniki. Widać, że x = 1 jest pierwiastkiem, więc dzielimy pochodną przez (x− 1) .

2x3 − x − 1 = (2x 3 − 2x 2)+ (2x 2 − 2x)+ (x− 1) = (x − 1)(2x 2 + 2x + 1 ).

Trójmian w nawiasie jest stale dodatni, bo Δ < 0 , więc pochodna jest ujemna na przedziale (− ∞ ,1) i dodatnia na przedziale (1,+ ∞ ) . To oznacza, że punkcie x = 1 funkcja ma minimum lokalne, które jest równe