/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 9362294

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a > 0 , to a 1-- -2a- 2 + 2a2 ≥ a3+ 1 .

Rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

a 1 2a --+ --2-≥ -3---- / ⋅2a2(a3 + 1) 2 2a a + 1 a3(a3 + 1)+ a3 + 1 ≥ 4a3 6 3 3 3 a + a + a + 1 ≥ 4a a6 − 2a3 + 1 ≥ 0 3 2 (a − 1) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność również musi być prawdziwa.

Wersja PDF